当前位置: 主页 > 之家科技 >线性规划(Linear Programming) >

线性规划(Linear Programming)


让我们就从下面的例子说起,来介绍什幺是线性规划:

为预防禽流感,营养师吩咐鸡场主人每天必须从饲料中提供至少 84 单位的营养素 A 、
至少 72 单位的营养素 B 和至少 60 单位的营养素 C 给他的鸡群。

这三种营养素可由两种饲料中获得,且知第一种饲料每公斤售价 5 元并含有 7 单位的营 养素 A ,3 单位的营养素 B 与 3 单位的营养素 C ;第二种饲料每公斤售价 4 元并含有 2 单位的营养素 A , 6 单位的营养素 B 与 2 单位的营养素 C 。

若鸡场主人每天使用 x 公斤的第一种饲料与 y 公斤的第二种饲料就能符合营养师吩咐,并且想以最少的饲料成本来达到鸡群的营养要求,则x, y 的值为何?最少的饲料成本又是多少?

线性规划(Linear Programming)

换言之,鸡场主人想要以「最少」的饲料成本来达成鸡群的营养要求,以达到预防禽流感的目的;将成本写成算式,就称为目标函数

该如何配置这两种饲料的使用?首先,我们当然要先了解各种条件的限制。若是依条件列出的算式,以及「目标函数」都是一次式,我们就将此类的问题称为「线性规划」。

以上述问题来看,设每天使用第一种饲料 \(x\) 公斤;第二种饲料 \(y\) 公斤,

将条件列出,可得二元一次联立不等式 \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0,y \ge 0\\ 7x + 2y \ge 84\\ x + 2y \ge 24\\ 3x + 2y \ge 60 \end{array} \right.\) 。

同时,目标函数(即饲料成本)为 \(5x+4y\) 。这个问题便是典型的线性规划问题。

进而,我们将满足联立不等式的解区域画出,称为可行解区域,如图一。

线性规划(Linear Programming)

接着,画出通过原点的直线 \(5x+4y=0\) ,让其在可行解区域内移动。

不难发现形如 \(5x+4y=k\) 的一组平行线移动时,在点 \((18,3)\) 时会有最小值。

因此,当 \(x=18,y=3\) 时,最小值为 \(5\times 18+4\times 3=102\)

(关于可行解区域的绘製及目标函数最大、最小值的求法,请参阅〈二元一次不等式〉一文)。

此时,点 \((18,3)\) 就称为最佳解,而上述利用平行直线来判定最佳解的方法,就称为平行线法。

因此,依问题设定两个变数 \(x,y\) ,列出不等式组及目标函数,

再依二元一次联立不等式绘製图形,找出可行解区域。

接着,在可行解区域内,找到点 \((x,y)\) 满足目标函数的极值,

此时的点 \((x,y)\) 叫做问题的最佳解,这样的程序正是高中课程中处理线性规划的标準作法。

不过,当遇有整数解限制,而最佳解并非整数时,该如何处理?值得我们好好研究一下。

同样地,还是用下面的例子来说明:

某货运公司有载重4吨的小货车7辆,载重5吨的大货车4辆及9名司机,

现在受託每天至少要运送30吨的煤,且人、车每天只能出动一次。

若小货车开一趟要500元,大货车要800元,怎样调度才能最省钱?

设派出小货车 \(x\) 辆,大货车 \(y\) 辆,且 \(x,y\) 为整数,

依题意可列式为 \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 7\\ 0 \le y \le 4\\ x + y \le 9\\ 4x + 5y \ge 30 \end{array} \right.\) ,此联立不等式的解如图二。

线性规划(Linear Programming)

而所求为 \(500x+800y\) 的最小值,

即目标函数\(=500x+800y=100(5x+8y)\) 。

利用平行线法,不难发现最佳解为 \((7,\frac{2}{5})\) 。

然而,\((7,\frac{2}{5})\) 并非问题所求的整数解。

那幺,如何找到满足目标函数的最小值之整数解?

以往的课本常交待就在 \((7,\frac{2}{5})\) 的附近找寻几个整数解,再带入判断即可。

这样的作法,并不能保证所找到的整数解必为最小值,而且该找寻几个整数点代入才足够呢?

以上述问题为例,在的附近的整数解有 \((7,1)\) 、\((6,2)\) 两点,

不过,这两个点都不是最佳整数解。

以下提供一个可以保证所求必为最佳整数解的作法(但不一定迅速):

由于 \((7,\frac{2}{5})\) 代入,得 \(100(5 \times 7 + 8 \times \frac{2}{5}) = 3820\) ,

而 \((7,\frac{2}{5})\) 附近的 \((7,1)\) 代入,得 \(100(5\times 7+8\times 1)=4300\) 。

因此,只需依序考虑 \(5x+8y=39,5x+8y=40,5x+8y=41\),

以及 \(5x+8y=42\) 等几条直线在可行解区域中是否有整数解即可。

就此例而言,当 \(5x+8y=41\) 时,恰有点 \((5,2)\) 满足,

因此,\(x=5,y=2\) 为最佳整数解,而最少运费为 \(4100\) 元。

倘若这几条直线都没能找到整数解,

那幺,一开始在 \((7,\frac{2}{5})\) 附近所找的 \((7,1)\) 就一定是最佳解了。

线性规划在高中数学中一直佔有相当重要的地位,儘管受限于数学知识,高中课程只能介绍平面(二维)的状况,算是线性规划中的「浅薄特例」。但从数学建模的观点,高中课程的线性规划却是一个让人可以理解如何「利用数学解决实际问题」的极佳例子。


上一篇:
下一篇:

走在影音科技|技节周边|新闻热搜|网站地图 博亿堂b8et98app_竞博app下载地址 九州bt365体育投注_e乐彩APP注册旧版 新时代赌场手机_mg游戏账号中心 新濠娱乐三元_极彩在线app下载 狗万·首页_游戏娱乐平台注册送礼金 申博sunbet代理_环球体育下载ios 万家乐国际app_众盈娱乐下载 2020下载app送38元彩金_星河网上娱乐 金沙电子app_sunbeAPP下载菲律宾 葡京网站大全app_上葡京体育app