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线性方程组的讨论(On system of linear e


一般在讨论二元一次联立方程组:

$$(\divideontimes)\left\{\begin{array}{ll}{{a}_{1}{x}+{b}_{1}{y}={c}_{1}}\\{{a}_{2}{x}+{b}_{2}{y}={c}_{2}}\end{array}\right.~~~\mbox{,} {{a}_{i}^2+{b}_{i}^2 \neq 0}~~~\mbox{,} {i}=1\mbox{,} 2$$

其一是利用加减或代入消去法,将原方程式化为:

$$\left\{\begin{array}{ll}{({a}_{1}{b}_{2}- {a}_{2}{b}_{1}){x} ={c}_{1}{b}_{2} – {c}_{2}{b}_{1}}\\{({a}_{1}{b}_{2}- {a}_{2}{b}_{1}){y} ={a}_{1}{c}_{2} – {a}_{2}{c}_{1}}\end{array}\right.$$

再令 $$\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}$$,$$\Delta_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}$$,$$\Delta_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}$$,

则原方程式简写为:$$(\star)\left\{\begin{array}{l}\Delta\cdot x=\Delta_x\\\Delta\cdot y=\Delta_y\end{array}\right.$$

而得到以下的结论:

$$(1)$$  $$\Delta \ne 0$$,方程组有唯一解 $$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$、$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$。(此为克拉玛公式)

$$(2)$$  $$\Delta=0$$,$$\Delta_x$$ 或 $$\Delta_y$$ 有一不为 $$0$$,方程组无解。

$$(3)$$  $$\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$$,方程组有无限多组解,其解可利用其中一条方程式表成参数式。

不过,我们常常没讲清楚,很多学生会以为这是直接由方程组 $$(\star)$$ 讨论而得到的,下面的说明,是想把这件事讲清楚一点。

上面我们其实陈述了一个事实,就是方程组 $$(\divideontimes)$$ 可以导出方程组  $$(\star)$$:

$$(\divideontimes)\left\{\begin{array}{ll}{{a}_{1}{x}+{b}_{1}{y}={c}_{1}}&(1)\\{{a}_{2}{x}+{b}_{2}{y}={c}_{2}}&(2)\end{array}\right.\Longrightarrow (\star)\left\{\begin{array}{ll}\Delta\cdot x=\Delta_x&(3)\\\Delta\cdot y=\Delta_y&(4)\end{array}\right.$$

我们若令方程组 $$(\divideontimes)$$ 的解集合为 $${S}_1$$,而方程组 $$(\star)$$ 的解集合为 $${S}_2$$,当然有 $${S}_1\subset{S}_2$$。

当 $$\Delta \ne 0$$ 将 $$\displaystyle (3)\times\frac{a_1}{\Delta}+(4)\times\frac{b_1}{\Delta}$$,可得 $$\displaystyle a_1x+b_1y=a_1(\frac{\Delta_x}{\Delta})+b_1(\frac{\Delta_y}{\Delta})$$,

而 $$\displaystyle a_1(\frac{\Delta_x}{\Delta})+b_1(\frac{\Delta_y}{\Delta})=\frac{1}{\Delta}(a_1b_2c_1-a_2b_1c_1)=c_1$$

可知 $$\displaystyle (3)\times\frac{a_1}{\Delta}+(4)\times\frac{b_1}{\Delta}$$ 可得 $$a_1x+b_1y=c_1$$,

同理 $$\displaystyle (3)\times\frac{a_2}{\Delta}+(4)\times\frac{b_2}{\Delta}$$ 可得 $$a_2x+b_2y=c_2$$

即 $$(\star)\left\{\begin{array}{ll}\Delta\cdot x=\Delta_x&(3)\\\Delta\cdot y=\Delta_y&(4)\end{array}\right.\Longrightarrow(\divideontimes)\left\{\begin{array}{ll}{{a}_{1}{x}+{b}_{1}{y}={c}_{1}}&(1)\\{{a}_{2}{x}+{b}_{2}{y}={c}_{2}}&(2)\end{array}\right.$$

所以,$${S}_2\subset{S}_1$$,由此可知$${S}_2={S}_1$$,即两方程组为同义方程组。

故求解时,当然看方程组 $$(\star)$$,立刻可得 $$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$、$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$。

但是,当 $$\Delta = 0$$ 时,从方程组 $$(\star)$$ 是无法推得方程组 $$(\divideontimes)$$ 的,所以,其实当我们在解方程组 $$(\divideontimes)$$ 时,方程组 $$(\star)$$ 是帮不上忙的。

不过,当方程组 $$(\star)$$ 无解时 $$(\Delta^2_x+\Delta^2_y\ne 0)$$,即 $$S_2=\varnothing$$,因 $$S_1\subset S_2$$,故可知 $$S_1=\varnothing$$,即原方程组无解。但是,当方程组 $$(\star)$$ 无限多解时 $$(\Delta_x=\Delta_y=0)$$,不能推得方程组 $$(\divideontimes)$$ 无限多解,我们得靠其他的理由得到。例如

$$\Delta=0\Longleftrightarrow\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow (a_1,b_1)//(a_2,b_2)$$

$$\Delta_x=0\Longleftrightarrow\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow (c_1,b_1)//(c_2,b_2)$$

所以 $$(a_1,b_1,c_1)//(a_2,b_2,c_2)$$,故知两方程为同一方程式,得无限多解。但即使是如此,方程组 $$(\divideontimes)$$ 的解集合为一直线,而方程组 $$(\star)$$ 的解集合为一平面,仍是不同的。

讨论三元一次联立方程组:

$$\left\{\begin{array}{ll}{{a}_{1}{x}+{b}_{1}{y}+{c}_{1}{z}={d}_{1}}\\{{a}_{2}{x}+{b}_{2}{y}+{c}_{2}{z}={c}_{2}}\\{{a}_{3}{x}+{b}_{3}{y}+{c}_{3}{z}={d}_{3}}\end{array}\right.~~~\mbox{,} {{a}_{i}^2+{b}_{i}^2++{c}_{i}^2 \neq 0}~~~\mbox{,} {i}=1\mbox{,} 2 \mbox{,} 3$$

亦是相同的,若令

$$\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}$$,
$$\Delta_x=\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}$$,$$\Delta_y=\begin{vmatrix}d_1&d_1&c_1\\d_2&d_2&c_2\\d_3&d_3&c_3\end{vmatrix}$$,$$\Delta_z=\begin{vmatrix}d_1&b_1&d_1\\d_2&b_2&d_2\\d_3&b_3&d_3\end{vmatrix}$$,

利用消去法,可得:

$$(\divideontimes)\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{x}+{b}_{1}{y}+c_1z={d}_{1}}\\{{a}_{2}{x}+{b}_{2}{y}+{c}_{2}}z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.\Longrightarrow (\star)\left\{\begin{array}{l}\Delta\cdot x=\Delta_x\\\Delta\cdot y=\Delta_y\\\Delta\cdot z=\Delta_z\end{array}\right.$$

而也只有在 $$\Delta\ne 0$$ 时,两方程组才为同义方程组,此时透过方程组 $$(\star)$$,很容易得到克拉玛公式 $$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$、$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$、$$\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}$$

当 $$\Delta =0$$ 时,而方程组 $$(\star)$$ 无解时 $$(\Delta^2_x+\Delta^2_y+\Delta^2_z\ne 0)$$,

亦知 $${S}_{2}=\varnothing$$,因 $${S}_1\subset{S}_2$$,故可知 $${S}_{1}=\varnothing$$,即原方程组无解。

但是当方程组 $$(\star)$$ 无限多解时 $$(\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0)$$,对方程组 $$(\divideontimes)$$ 的状况是无所知的,要依赖其他的讨论才能弄清楚它的情形。

以前我们在準备教材时,发现一般线性代数的书根本不花篇幅讨论 $$\Delta=0$$ 的情形,主要的原因,当然是两方程组不同义时,无法多说什幺;而有趣的是,高中老师在处理教材时,常常在此着墨很多,也许我们可以一起好好地针对这一点思考一下。

参考文献

项武义、莫宗坚 (1990).《线性代数基础理论》,台北:联经出版公司。
Serge Lang (2004). Linear Algebra. Springer-Verlag,2004。


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