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线性组合与坐标系统(Linear Combination a


摘要:阐述当给定两个不平行的非零向量,则它们的「线性组合」也就建立了平面上的一个坐标系统。在直角坐标上,我们用某点和原点决定的长方形决定点的坐标,在一般化的坐标系统上,我们用平行四边形决定点的坐标,而坐标就是线性组合的係数。

任给两个非零且不平行的平面向量 $$\vec{u}$$、$$\vec{v}$$,透过二元一次联立方程组,我们发现对任意一个平面向量 $$\vec{b}$$,必存在唯一的一对实数 $$(x,y)$$ 使得

$$x\vec{u}+y\vec{v}=\vec{b}$$

我们说 $$\vec{b}$$ 是 $$\vec{u}$$ 与 $$\vec{v}$$ 的线性组合,而 $$x$$ 和 $$y$$ 是线性组合的係数。
举例而言,若 $$x=2$$、$$y=-1$$,它们的几何关係如下图。

线性组合与坐标系统(Linear Combination a

取一组特例,令 $$\vec{u}=(1,0)$$、$$\vec{v}=(0,1)$$,也就是 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 分别是 $$x$$ 轴和 $$y$$ 轴上的单位向量(长度为 $$1$$ 的向量),则根据直角坐标的定义,平面上任一点 $$A(x,y)$$ 的位置向量 $$\vec{OA}=(x,y)$$ 坐标 $$x$$、$$y$$ 就是线性组合的係数:

$$x\vec{u}+y\vec{v}=x(1,0)+y(0,1)=(x,y)$$

现在我们可以明白,直角坐标系统就是一种特殊的线性组合,其中作为「基底」的两个向量互相垂直而且长度相等(把它们的长度定义为 $$1$$)。仿照直角坐标的方式,我们可以用任两个非零且不平行的平面向量 $$\vec{u}$$、$$\vec{v}$$,在平面上建立一个坐标系统,称为 $$uv$$ 坐标系统。作法如下。

首先,在平面上任给两个非零且不平行的向量 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$,如下图(a)。注意,此时尚未有坐标系统,所以 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 只是平面上的有向线段,它们还没有坐标表示法。

线性组合与坐标系统(Linear Combination a

将 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 的始点放在一起,令它为点 $$O$$。

做两条分别以 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 为方向向量且通过点 $$O$$ 的直线。

由 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 所决定的坐标系统,称为 $$uv$$ 坐标系统;

则点 $$O$$ 是此系统之原点,而上述两条直线可称为 $$u$$ 轴和 $$v$$ 轴,如上图(b)。

固定以原点为始点,则 $$\vec{u}$$ 和 $$\vec{v}$$ 的係数积 $$x\vec{u}$$ 和 $$y\vec{v}$$ 的终点就分别是 $$u$$ 轴和 $$v$$ 轴上的点。

这就使得 $$u$$ 轴和 $$v$$ 轴各成为一条数线,而它们各有自己的单位长 $$|\vec{u}|$$ 和 $$|\vec{v}|$$,如下图。

线性组合与坐标系统(Linear Combination a

以前,在直角 $$xy$$ 坐标系统上,任一点 $$A$$ 的坐标是如此决定的:过点 $$A$$ 做铅直线交 $$x$$ 轴于 $$A_1$$,做水平线交 $$y$$ 轴于 $$A_2$$。则 $$A_1$$ 和 $$A_2$$ 在两条数线上的坐标,就是 $$A$$ 点的坐标。如下图。

线性组合与坐标系统(Linear Combination a

事实上,所谓「铅直线」就是平行于 $$y$$ 轴的直线,而所谓「水平线」就是平行于 $$x$$ 轴的直线。利用平行的观念,两个轴不一定要互相垂直,也不一定要放在「水平」和「铅直」的位置。

现在,在 $$uv$$ 坐标系统上,任一点 $$A$$ 的坐标可以如此决定:过点 $$A$$ 做平行于 $$v$$ 轴的直线,交 $$u$$ 轴于点 $$A_1$$,做平行于 $$u$$ 轴的直线,交 $$v$$ 轴于 $$A_2$$。则 $$A_1$$ 和 $$A_2$$ 在两条数线上的坐标,就是 $$A$$ 点的坐标。而且,根据向量加法的「平行四边形」法,我们明白点 $$A$$ 在 $$uv$$ 坐标系统的坐标 $$A(u_0,v_0)$$ 就是线性组合的係数:

$$u_0\vec{u}+v_0\vec{v}=\vec{OA}$$

如下图。

线性组合与坐标系统(Linear Combination a

注:感谢三民书局提供图片。

向前连结:平面向量的线性组合

延伸阅读:


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